Question

給定數列a₁，a₂，…，a_n．對i=1，2，…，n-1，該數列前i項的最大值記為A_i，后n-i項a_i+1，a_i+2，…，a_n的最小值記為B_i，d_i=A_i-B_i．
（Ⅰ）設數列{a_n}為3，4，7，1，寫出d₁，d₂，d₃的值；
（Ⅱ）設a₁，a₂，…，a_n（n≥4）是公比大于1的等比數列，且a₁＞0．證明：d₁，d₂，d_n-1是等比數列．

Answer 1

分析：（I）利用新定義，可得d₁，d₂，d₃的值；
（Ⅱ）確定a₁，a₂，…，a_n是遞增數列，利用定義證明

di+1

di

=q（i=1，2，…，n-2），可得結論．

解答：（I）解：由題意，d₁=3-1=2，d₂=4-1=3，d₃=7-1=6．
（II）證明：因為a₁＞0，公比q＞1，所以a₁，a₂，…，a_n是遞增數列．
因此，對i=1，2，…，n-1，A_i=a_i，B_i=a_i+1．
于是對i=1，2，…，n-1，di=Ai-Bi=ai-ai+1=a1qi-1-a1qi=a1(1-q)qi-1．
因此d_i≠0且

di+1

di

=q（i=1，2，…，n-2），即d₁，d₂，d_n-1是等比數列．

點評：本題考查新定義，考查等比數列的證明，正確理解新定義是關鍵．