Question

設橢圓C₁和拋物線C₂的焦點均在x軸上，C₁的中心和C₂的頂點均為原點，從每條曲線上各取兩點，將其坐標記錄于下表中：

x	3	-2	4	2
y	-2 3	0	-4	2 2

（Ⅰ）求曲線C₁，C₂的標準方程；
（Ⅱ）設直線l與橢圓C₁交于不同兩點M、N，且

OM

•

ON

=0，請問是否存在直線l過拋物線C₂的焦點F？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意（-2，0），一定在橢圓C₁上，設C₁方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，可得a=2．于是橢圓C₁上任何點的橫坐標|x|≤2．可判斷點（

2

，

2

2

）也在C₁上，代入橢圓方程即可解得b²，因此得到橢圓的方程．從而（3，-2

3

），（4，-4）一定在拋物線C₂上，設C₂的方程為y²=2px（p＞0），把其中一個點的坐標代入即可得出．
（II）假設直線l過C₂的焦點F（1，0）．分類討論：當l的斜率不存在時，得出M，N的坐標，然后驗證是否滿足

OM

•

ON

=0，即可．                               
當l的斜率存在時設為k，則l的方程為y=k（x-1）代入C₁方程并整理可得根與系數的關系，利用

OM

•

ON

=0，可得k的值即可．

解答：解：（I）由題意（-2，0），一定在橢圓C₁上，
設C₁方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則a=2，
∴橢圓C₁上任何點的橫坐標|x|≤2．
∴（

2

，

2

2

）也在C₁上，代入橢圓方程

( 2 )2

22

+

( 2 2 )2

b2

=1，
解得b²=1，
∴C₁的方程為

x2

4

+y²=1．
從而（3，-2

3

），（4，-4）一定在拋物線C₂上，
設C₂的方程為y²=2px（p＞0），可得（-4）²=2p×4．
∴p=2，即C₂的方程為y²=4x．
（II）假設直線l過C₂的焦點F（1，0）．
當l的斜率不存在時，則M（1，

3

2

），N（1，-

3

2

）．
此時

OM

•

ON

=1-

3

4

=

1

4

≠0，與已知矛盾．                               
當l的斜率存在時設為k，則l的方程為y=k（x-1）代入C₁方程并整理得，（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0．
∵直線l過橢圓內部（1，0）點，故必有兩交點．                       
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
x₁+x₂=

8k2

1+4k2

，x₁x₂=

4k2-4

1+4k2

．
y₁y₂=k（x₁-1）k（x₂-1）=k²（x₁x₂-x₁-x₂+1）
=

-3k2

1+4k2

，
∵

OM

•

ON

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴k²-4=0，k=±2，
∴存在符合條件的直線l且方程為y=±2（x-1）．

點評：本題綜合考查了橢圓與拋物線的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、數量積與向量垂直的關系等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．