Question

（08年湖北卷文）（本小題滿分14分）

    已知數列,其中為實數，為正整數.

    （Ⅰ）證明：當

（Ⅱ）設為數列的前n項和，是否存在實數，使得對任意正整數n，都有

     若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

(Ⅰ)證明：假設存在一個實數，使｛a_n｝是等比數列，則有,即

（）²=²矛盾.

所以｛a_n｝不是等比數列.

（Ⅱ）證明：∵

                 

                                      

又由上式知

故當數列｛b_n｝是以為首項，為公比的等比數列.

（Ⅲ）當由（Ⅱ）得于是

       

         當時，，從而上式仍成立.

         要使對任意正整數n , 都有

          即

          令

          當n為正奇數時，當n為正偶數時，

          

           于是可得

           綜上所述，存在實數，使得對任意正整數，都有

          的取值范圍為

【試題解析】第（1）問問的是證明 “不是等比數列”，這樣的問題顯然用“反證法”；第（2）問要先求和再解建立不等式。

【高考考點】本題主要考查等比數列的定義、數列求和、不等式基礎知識和分類討論的思想，考查綜合分析問題的能力和推理能力。

【易錯提醒】本題主要是，沒有掌握解題的基本方法，再就是沒有分類討論。

【備考提示】對等比數列、等差數列、數求和的知識要熟練掌握，數列中要特別注意遞推關系式的結構。