Question

正方形ABCD的對角線AC在直線x+2y-1=0上，點A，B的坐標分別為A（-5，3），B（m，0）（m＞-5），求B、C、D點的坐標．

Answer 1

分析：根據直線BD⊥AC，求出BD斜率為2，利用點斜式給出BD方程．將BD、AC方程聯解可得E點關于m的坐標，由|AE|=|BE|列式解出m=-4，從而得到E點、B點的坐標，最后利用中點坐標公式可求出點C、D點的坐標，得到本題的答案．

解答：解：如圖，設正方形ABCD兩頂點C，D坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
∵直線BD⊥AC，k_AC=-

1

2

，∴k_BD=

-1

kAC

=2，
可得直線BD方程為y=2（x-m），
與x+2y-1=0聯解，得

x= 1 5 + 4 5 x y= 2 5 - 2 5 m

，
∴點E的坐標為（

1

5

+

4

5

m，

2

5

-

2

5

m），
又∵|AE|=|BE|，∴

( 1 5 + 4 5 m+5)2+( 2 5 - 2 5 m-3)2

=

( 1 5 + 4 5 m-m)2+( 2 5 - 2 5 m)2

，
平方整理，得m²+18m+56=0，解之得m=-4或m=-14（因為m＞-5，舍去此解），
可得點B坐標為（-4，0），
∵點E坐標為（-3，2），E為AC中點
∴

-3= -5+x1 2 2= 3+y1 2

，解之得

x1=-1 y1=1

，即點C坐標為（-1，1），
同理可得點D坐標為（-2，4），
綜上所述，點B（-4，0），點C（-1，1），點D（-2，4）．

點評：本題給出正方形的對角線位置和一個頂點的坐標，求它另外頂點的坐標，著重考查了直線的基本形式、直線的位置關系和與直線關于直線對稱的直線方程等知識，屬于中檔題．