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證明下列命題.

（1）若函數f(x)可導且為周期函數，則f′(x)也為周期函數；

（2）可導的奇函數的導函數是偶函數.

證明：（1）設f(x)的周期為T，則f(x)=f(x+T).

∴f′(x)=［f(x+T)］′=f′(x+T)·(x+T)′=f′(x+T)，即f′(x)為周期函數且周期與f(x)的周期相同.

（2）∵f(x)為奇函數，

∴f(-x)=-f(x).

∴［f(-x)］′=［-f(x)］′.

∴f′(-x)·(-x)′=-f′(x).

∴f′(-x)=f′(x),即f′(x)為偶函數.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為有理數的點稱為有理點．試根據這一定義，證明下列命題：若直線y=kx+b（k≠0）經過點M（
2
，1），則此直線不能經過兩個有理點．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•閘北區一模）假設你已經學習過指數函數的基本性質和反函數的概念，但還沒有學習過對數的相關概念．由指數函數f（x）=ax（a＞0且a≠1）在實數集R上是單調函數，可知指數函數f（x）=ax（a＞0且a≠1）存在反函數y=f-1（x），x∈（0，+∞）．請你依據上述假設和已知，在不涉及對數的定義和表達形式的前提下，證明下列命題：
（1）對于任意的正實數x1，x2，都有f-1（x1x2）=f-1(x1)+f-1(x2)；
（2）函數y=f-1（x）是單調函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

假設你已經學習過指數函數的基本性質和反函數的概念，但還沒有學習過對數的相關概念．由指數函數f（x）=ax（a＞0且a≠1）在實數集R上是單調函數，可知指數函數f（x）=ax（a＞0且a≠1）存在反函數y=f-1（x），x∈（0，+∞）．請你依據上述假設和已知，在不涉及對數的定義和表達形式的前提下，證明下列命題：
（1）對于任意的正實數x1，x2，都有f-1（x1x2）=數學公式；
（2）函數y=f-1（x）是單調函數．

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科目：高中數學 來源：閘北區一模 題型：解答題

假設你已經學習過指數函數的基本性質和反函數的概念，但還沒有學習過對數的相關概念．由指數函數f（x）=ax（a＞0且a≠1）在實數集R上是單調函數，可知指數函數f（x）=ax（a＞0且a≠1）存在反函數y=f-1（x），x∈（0，+∞）．請你依據上述假設和已知，在不涉及對數的定義和表達形式的前提下，證明下列命題：
（1）對于任意的正實數x1，x2，都有f-1（x1x2）=f-1(x1)+f-1(x2)；
（2）函數y=f-1（x）是單調函數．

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科目：高中數學 來源：2013年上海市閘北區高考數學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

假設你已經學習過指數函數的基本性質和反函數的概念，但還沒有學習過對數的相關概念．由指數函數f（x）=ax（a＞0且a≠1）在實數集R上是單調函數，可知指數函數f（x）=ax（a＞0且a≠1）存在反函數y=f-1（x），x∈（0，+∞）．請你依據上述假設和已知，在不涉及對數的定義和表達形式的前提下，證明下列命題：
（1）對于任意的正實數x1，x2，都有f-1（x1x2）=；
（2）函數y=f-1（x）是單調函數．

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