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設橢圓C:=1(a＞b＞0)過點(1,),F1、F2分別為橢圓C的左、右兩個焦點,且離心率e=.

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知A為橢圓C的左頂點,直線l過右焦點F2與橢圓C交于M、N兩點.若AM,AN的斜率k1,k2滿足k1+k2=,求直線l的方程;

(3)已知P是橢圓C上位于第一象限內的點,△PF1F2的重心為G,內心為I,求證:GI∥F1F2.

解:(1) 得∴橢圓的標準方程為=1.

(2)由(1)得F2(1,0),A(-2,0).

若直線l與x軸垂直,則k1+k2=0,不合題意;

設直線l為y=k(x-1)(k≠0),設直線與橢圓的交點坐標分別為M(x1,y1),N(x2,y2).

由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,

Δ=9k2-9＞0,得k＞1或k＜-1,

x1+x2=,x1·x2=,

y1+y2=k(x1+x2-2)=k(-2)=,

∵k1=,k2=,

∴k1+k2=+=

=,

∴x1y2+x2y1=.

∵x1y2+x2y1=x1［k(x2-1)］+x2［k(x1-1)］=,

∴,k=2,符合k＞1.

故所求直線MN的方程為y=2(x-1).

(3)證明:設PI交F1F2于Q,則,,

∴.∴=2.∴,IG∥F1F2.

練習冊系列答案
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