Question

如圖，在三棱柱中，已知學，，，，，網，側面，

（1）求直線C₁B與底面ABC所成角正切值；學科網

（2）在棱（不包含端點上確定一點的位置,學科網

使得(要求說明理由).學科網

（3）在（2）的條件下,若，求二面角的大小.學科網

Answer 1

（1）直線與底面所成角正切值為2 （2）E為中點  （3）45°

解析:

（1）在直三棱柱中， 在平面上的射影為.

       為直線與底面所成角.    ………

       ，

       即直線與底面所成角正切值為2.        ……

 （2）當E為中點時，.

 

     ，即      …………

     又，

      ，，  ……

（3）取的中點，的中點，則∥，且，

連結，設，連結，

則∥，且

為二面角的平面角.   ………

，    

 ∴二面角的大小為45°       ……… 

另解：如圖，以B為原點建立空間直角坐標系，則，，

直三棱柱中，平面的法向量，

又，

設，

則    ……… 

    

即直線與底面所成角正切值為2.    …………

（2）設，則，

，∴        …………    

 ，即           ………

（3）∵，則，

設平面的法向量，

則，取   ……

∵，∴，又

∴平面的法向量，∴,

∴二面角的大小為45°       …………