Question

（本小題15分）在各項為正的數列中，數列的前n項和滿足
（1） 求；（2） 由（1）猜想數列的通項公式并證明，（3） 求

Answer 1

解：
（1）a₁=1，a₂=，a₃=；
（2）數列{an}的通項公式可能是：an=，證明見解析。
（3）Sn==

本試題主要是考查了數列的通項公式與前n項和的關系式的運用，令值的思想得到前幾項，然后歸納猜想數列的通項公式，并運用數學歸納法證明，
（1）由題意可知，那么對于n令值，那么可知a₂=
a₃=
(2)根據上一問的結論，數列{a_n}的通項公式可能是：an=，然后運用數學歸納法分兩步驟證明即可。
（3）因為通項公式累加可以得到前n項和的結論。
解：
（1）S₁=1/2(a₁+1/a₁)
又S₁=a₁
故1/2(a₁+1/a₁)=a₁
即a₁²=1  因為a1>0
故a₁=1
S₂=1/2(a₂+1/a₂)
又S₂=a₁+a₂=1+a₂
故1/2(a₂+1/a₂)=1+a₂ (a₂>0)
解得：a₂=
同理：a₃=
（2）從（1）中可看出：數列{an}的通項公式可能是：an=
假設an=成立
證明：
① 當n=1時，a_n=1=     假設成立
② 當n=2時，a_n==    假設成立
③ 假設n=i時，假設成立，即
ai=
Si=(+()+()+…+()=
那么，當n=i+1時
由sn=1/2(a_n+1/a_n)得
Si+1=1/2(ai+1+1/ai+1)
ai+1="Si+1-Si=1/2(ai+1+1/ai+1)-"
解得：ai+1= 由①②③可證明假設a_n=成立
an通項公式為：a_n=
（3）Sn==