Question

已知函數，（為常數）．
（1）函數的圖象在點處的切線與函數的圖象相切，求實數的值；
（2）若，，、使得成立，求滿足上述條件的最大整數；
（3）當時，若對于區間內的任意兩個不相等的實數、，都有
成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）或；（2）；（3）.

試題分析：（1）利用導數求出函數在點的切線方程，并將切線方程與函數的方程聯立，利用求出的值；（2）將題中問題轉化為從而確定最大整數的值；（3）假設，考查函數和的單調性，從而將，得到，于是得到，然后構造函數
，轉化為函數在區間為單調遞增函數，于是得到在區間上恒成立，利用參變量分離法求出的取值范圍.
（1），，，
函數的圖象在點處的切線方程為，
直線與函數的圖象相切，由，消去得，
則，解得或；
（2）當時，，
，
當時，，在上單調遞減，
，，
則，
，故滿足條件的最大整數；
（3）不妨設，函數在區間上是增函數，，
函數圖象的對稱軸為，且，函數在區間上是減函數，
，
等價于，
即，
等價于在區間上是增函數，
等價于在區間上恒成立，
等價于在區間上恒成立，
，又，.