Question

已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在x軸上，離心率為

1

2

，且點（1，

3

2

）在該橢圓上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過橢圓C的左焦點F₁的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若△AOB的面積為

6 2

7

，求圓心在原點O且與直線l相切的圓的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出橢圓的標準方程，根據離心率求得a和c關系，進而根據a²=b²+c²，求得a和b的關系，把點C坐標代入橢圓方程求得a，進而求得b，則橢圓方程可得．
（Ⅱ）先看當l與x軸垂直時，可求得A，B的坐標，進而求得三角形AOB的坐標，不符合題意；再看直線l斜率存在時，設出直線方程，與橢圓方程聯立消去y，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），進而求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，進而表示出|AB|，進而求得圓的半徑后表示出三角形AOB的面積，求得k，進而求得圓的半徑，則圓的方程可得．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，由題意可得e=

c

a

=

1

2

，
又a²=b²+c²，所以b2=

3

4

a2
因為橢圓C經過（1，

3

2

），代入橢圓方程有

1

a2

+

9 4

3 4 a2

=1
解得a=2
所以c=1，b²=4-1=3故橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）當直線l⊥x軸時，計算得到：A(-1，-

3

2

)，B(-1，

3

2

)，
S△AOB=

1

2

•|AB|•|OF1|=

1

2

×1×3=

3

2

，不符合題意．
當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為：y=k（x+1），k≠0
由

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，消去y，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
顯然△＞0成立，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x1•x2=

4k2-12

3+4k2

又|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(x1-x2)2+k2(x1-x2)2

=

1+k2

•

(x1-x2)2

=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=

1+k2

64k4 (3+4k2)2 - 4(4k2-12) 3+4k2

即|AB|=

1+k2

•

12 k2+1

3+4k2

=

12(k2+1)

3+4k2

又圓O的半徑r=

|k×0-0+k|

1+k2

=

|k|

1+k2

所以S△AOB=

1

2

•|AB|•r=

1

2

•

12(k2+1)

3+4k2

•

|k|

1+k2

=

6|k| 1+k2

3+4k2

=

6 2

7

化簡，得17k⁴+k²-18=0，即（k²-1）（17k²+18）=0，
解得k12=1，k22=-

18

17

（舍）
所以，r=

|k|

1+k2

=

2

2

，故圓O的方程為：x2+y2=

1

2

．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程，涉及了橢圓與直線，圓的關系，綜合性強．