Question

已知定點A(a，O)( a >0)，B為x軸負半軸上的動點．以AB為邊作菱形ABCD，使其兩對角線的交點恰好落在y軸上．
(I)求動點D的軌跡E的方程；
(Ⅱ)過點A作直線l與軌跡E交于P、Q兩點，設點R (- a，0)，問當l繞點A轉動時，∠PRQ是否可以為鈍角?請給出結論，并加以證明．

Answer 1

詳見解析

解法一：(Ⅰ)設D(x，y)，∵A(a，0)，由ABCD為菱形
          且AC、BD的交點在y軸上，
　　　∴B、C兩點坐標為(-x，0)、(-a，y)．
由AC⊥BD得
·＝（2x，y）·(2a，-y)
＝4ax - y²=0，
即　y² = 4ax.
注意到ABCD為菱形，∴x≠0
故軌跡E的方程為y² = 4ax（x≠0）.
(Ⅱ)∠PRQ不可能為鈍角，即∠PRQ≤90°．
證明如下：
(1)當PQ⊥x軸時，P、Q點的坐標為(a，±2a)，又R(一a，0)，
此時∠PRQ=90°，結論成立；
(2)當PQ與x軸不垂直時，設直線PQ的方程為y=k(x一a)，
由得　k²x² - (2ak²+4a)x + k²a² = 0
　　　　　　記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂＝2a+，x₁ x₂=a².
　　　　　　　·＝（x₁+a）（x₂+a）+y₁y₂
=（x₁+a）（x₂+a）+k²（x₁- a）（x₂- a）
=(1+k²) x₁ x₂+(a - ak²)( x₁+x₂)+a²+a²k²
=(1+k²) a² +(a - ak²)( 2a+)+a²+a²k²=>0
即<,>為銳角，
綜上(1)、(2)知∠PRQ≤90°成立．
解法二：(Ⅰ)設D(x，y)，由ABCD為菱形且AC、BD的交點在y軸上，
∴C點坐標為(-a，y)，∵A(a，0)，由|DA|=|DC|得
，
　　　　　化簡得y²=4ax．
　　　　　注意到ABCD為菱形，∴x≠O，
　　　　　故軌跡E的方程為y²=4ax(x≠O)．
(Ⅱ)∠PRQ不可能為鈍角，即∠PRQ≤90°
　　　　證明如下：
　　　　　　設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），同證法一易知，則x₁ x₂=a².又y₁²=4ax₁，y₂²=4ax₂，且｜PR｜²＝x₁+x₂+2a ，因為
　　　　　　｜PR｜²+｜QR｜²-｜PQ｜²＝（x₁+a）²+y₁²+（x₂+a）²+y₂²-( x₁+x₂+2a)²
=2ax₁+2ax₂-4a²≥2-4a²=4a-4a²=0
　　　　　　從而　cos∠PRQ=≥0，
即∠PRQ≤90°
解法三：(Ⅰ)因為ABCD為菱形，且AC與BD的交點在y軸上，
所以點C的橫坐標為 -a，
即點C在直線x = -a上，從而D到C的距離等于D到直線x = -a的距   離．又ABCD為菱形，所以點D到點A的距離與點D到直線x = -a的距離   相等，即軌跡E為拋物線，方程為y²=4ax．
注意到ABCD為菱形，∴x≠O，
故軌跡E的方程為y²=4ax(x≠O)．
(Ⅱ) ∠PRQ不可能為鈍角，即∠PRQ≤90°
證明如下：
如圖，過P、Q向x軸及準線x = -a引垂線，記垂足為M、N、C、H，
則|MR|=|PG|=|PA|≥|PM|，所以∠PRM≤45°，
同理可證∠QRN≤45°，從而∠PRQ≤90°
解法四：(Ⅰ)同解法一．
(Ⅱ) ∠PRQ不可能為鈍角，即∠PRQ≤90°
證明如下：
設P（x₁，y₁），則y₁²=4ax₁，tan∠PRM=|k_PR|=||=，
∵x₁+a≥2，∴tan∠PRA≤1，∠QRA≤45°，
同理可證∠QRA≤45°，即∠PRQ≤90°