Question

已知點M（k，l）、P（m，n），（klmn≠0）是曲線C上的兩點，點M、N關于x軸對稱，直線MP、NP分別交x軸于點E（x_E，0）和點F（x_F，0），
（Ⅰ）用k、l、m、n分別表示x_E和x_F；
（Ⅱ）某同學發現，當曲線C的方程為：x²+y²=R²（R＞0）時，x_E·x_F=R²是一個定值與點M、N、P的位置無關；請你試探究當曲線C的方程為：時，x_E·x_F的值是否也與點M、N、P的位置無關；
（Ⅲ）類比（Ⅱ）的探究過程，當曲線C的方程為y²=2px（p＞0）時，探究x_E與x_F經加、減、乘、除的某一種運算后為定值的一個正確結論。（只要求寫出你的探究結論，無須證明）

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意N（k，-l），
且∵klmn≠0及MP、NP與軸有交點知：M、P、N為不同點，
直線PM的方程為，
則，
同理可得；
（Ⅱ）∵M，P在橢圓C：上，
∴，
∴x_E·x_F的值是與點M、N、P位置無關；
（Ⅲ）一個探究結論是：；
提示：依題意，，
∵M，P在拋物線C：y²=2px（p>0）上，
∴n²=2pm，l²=2pk，，
∴為定值。