Question

已知點M（k，l）、P（m，n），（klmn≠0）是曲線C上的兩點，點M、N關于x軸對稱，直線MP、NP分別交x軸于點E（x_E，0）和點F（x_F，0），
（Ⅰ）用k、l、m、n分別表示x_E和x_F；
（Ⅱ）當曲線C的方程分別為：x²+y²=R²（R＞0）、

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)時，探究x_E•x_F的值是否與點M、N、P的位置相關；
（Ⅲ）類比（Ⅱ）的探究過程，當曲線C的方程為y²=2px（p＞0）時，探究x_E與x_F經加、減、乘、除的某一種運算后為定值的一個正確結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意N（k，-l），由klmn≠0及MP、NP與x軸有交點知M、P、N為不同點，直線PM的方程為y=

n-l

m-k

(x-m)+n，由此能夠推導出x_E和x_F．
（Ⅱ）由M，P在圓C：x²+y²=R²上，知

m2=R2-n2 k2=R2-l2

，xE•xF=

n2k2-m2l2

n2-l2

=

n2(R2-l2)-(R2-n2)l2

n2-l2

=R2（定值）．所以x_E•x_F的值是與點M、N、P位置無關．同理知x_E•x_F的值是與點M、N、P位置無關．
（Ⅲ）一個探究結論是：x_E+x_F=0．證明如下：依題意，xE=

nk-ml

n-l

，xF=

nk+ml

n+l

．由M，P在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，能夠導出x_E+x_F為定值．

解答：解：（Ⅰ）依題意N（k，-l），且∵klmn≠0及MP、NP與x軸有交點知：（2分）
M、P、N為不同點，直線PM的方程為y=

n-l

m-k

(x-m)+n，（3分）
則xE=

nk-ml

n-l

，同理可得xF=

nk+ml

n+l

．（5分）
（Ⅱ）∵M，P在圓C：x²+y²=R²上，∴

m2=R2-n2 k2=R2-l2

，
xE•xF=

n2k2-m2l2

n2-l2

=

n2(R2-l2)-(R2-n2)l2

n2-l2

=R2（定值）．
∴x_E•x_F的值是與點M、N、P位置無關．（8分）
同理∵M，P在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，∴

m2=a2- a2n2 b2 k2=a2- a2l2 b2

，xE•xF=

n2k2-m2l2

n2-l2

=

n2(a2- a2l2 b2 )-(a2- a2n2 b2 )l2

n2-l2

=a2（定值）．
∴x_E•x_F的值是與點M、N、P位置無關．（11分）
（Ⅲ）一個探究結論是：x_E+x_F=0．（13分）
證明如下：依題意，xE=

nk-ml

n-l

，xF=

nk+ml

n+l

．
∵M，P在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，∴n²=2pm，l²=2pk.xE+xF=

2(n2k-ml2)

n2-l2

=

2(2pmk-2pmk)

n2-l2

=0．
∴x_E+x_F為定值．

點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置關系的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．