Question

設f（x）是定義在R上且周期為2的函數，在區間（-1，1]上，f（x）=

2x+1 ，  -1＜x＜0    ax+2 x+1  ，  0≤x≤1

，其中常數a∈R，且f（

1

2

）=f（

3

2

）．
（1）求a的值；
（2）設函數g（x）=f（x）+f（-x），x∈[-2，-1]∪[1，2]．
①求證：g（x）是偶函數；
②求函數g（x）的值域．

Answer 1

考點：分段函數的應用,函數的周期性

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（1）由分段函數，得f（

1

2

），再由周期2，可得f（

3

2

）=f（-

1

2

），再由條件，解方程即可得到a；
（2）①運用偶函數的定義，注意檢驗定義域是否關于原點對稱，即可得證；
②由偶函數可知g（x）的值域與g（x）在[1，2]上的值域相等．求出g（x）在[1，2]的解析式，通過導數判斷單調性，再求值域．

解答：（1）解：在區間（-1，1]上，f（x）=

2x+1 ，  -1＜x＜0    ax+2 x+1  ，  0≤x≤1

，
則f(

1

2

)=

a 2 +2

1 2 +1

=

a+4

3

，
由函數f（x）的周期為2，得f(

3

2

)=f(

3

2

-2)=f(-

1

2

)=2(-

1

2

)+1=0，
∵f(

1

2

)=f(

3

2

)，∴

a+4

3

=0，a=-4．
（2）①證明：∵對?x∈[-2，-1]∪[1，2]，有-x∈[-2，-1]∪[1，2]，
且g（-x）=f（-x）+f（-（-x））=f（-x）+f（x）=g（x），
∴g（x）是偶函數．
②解：由①知g（x）是偶函數，
所以g（x）的值域與g（x）在[1，2]上的值域相等．
又f（x）=

2x+1，-1＜x＜0 2-4x 1+x ，0≤x≤1

，
則g（1）=f（1）+f（-1）=f（1）+f（-1+2）=2f（1）=-2，
g（2）=f（2）+f（-2）=2f（0）=4，
當1＜x＜2時，-2＜-x＜-1，g（x）=f（x）+f（-x）=f（x-2）+f（-x+2）g(x)=2(x-2)+1+

-4(2-x)+2

(2-x)+1

=2x-

6

x-3

-7，
g′(x)=2+

6

(x-3)2

＞0，g（x）在（1，2）內是增函數，
得2-

6

1-3

-7＜g(x)＜2×2-

6

2-3

-7，
即-2＜g（x）＜3．
綜上知，函數g（x）的值域為[-2，3）∪{4}．

點評：本題考查分段函數及運用，考查函數的周期性及應用，函數的奇偶性及單調性和運用，考查運算能力，屬于中檔題．