Question

設數列{a_n}是公差為d的等差數列，其前n項和為S_n．
（1）已知a₁=1，d=2，
（i）求當n∈N*時，的最小值；
（ii）當n∈N*時，求證：；
（2）是否存在實數a₁，使得對任意正整數n，關于m的不等式a_m≥n的最小正整數解為3n﹣2？若存在，則求a₁的取值范圍；若不存在，則說明理由．

Answer 1

解：（1）（i）解：∵a₁=1，d=2，
∴，
，
當且僅當，即n=8時，上式取等號．
故的最小值是16．
（ii）證明：由（i）知S_n=n²，
當n∈N*時，，

=
=，
∵，
∴．
（2）假設對n∈N*，關于m的不等式
a_m=a₁+（m﹣1）d≥n的最小正整數解為c_n=3n﹣2，
當n=1時，a₁+（c₁﹣1）d=a₁≥1；
當n≥2時，恒有
，
即，
從而．
當時，對n∈N*，且n≥2時，
當正整數m＜c_n時，有．
a₁符合題意且a₁的取值范圍是．