Question

若函數f（2x+1）=x²-2x，則f（3）=

 

．

Answer 1

分析：這是一個湊配特殊值法解題的特例，由f（2x+1）=x²-2x，求f（3）的值，可令（2x+1）=3，解出對應的x值后，代入函數的解析式即可得答案．本題也可使用湊配法或換元法求出函數f（x）的解析式，再將 x=3代入進行求解．

解答：解法一：（換元法求解析式）
令t=2x+1，則x=

t-1

2

則f（t）=(

t-1

2

)2-2

t-1

2

=

1

4

t2-

3

2

t+

5

4

∴f(x)=

1

4

x2-

3

2

x+

5

4

∴f（3）=-1
解法二：（湊配法求解析式）
∵f（2x+1）=x²-2x=

1

4

(2x+1)2-

3

2

(2x+1)+

5

4

∴f(x)=

1

4

x2-

3

2

x+

5

4

∴f（3）=-1
解法三：（湊配法求解析式）
∵f（2x+1）=x²-2x
令2x+1=3
則x=1
此時x²-2x=-1
∴f（3）=-1
故答案為：-1

點評：求未知函數解析式的函數的函數值，有兩種思路，一種是利用待定系數法、換元法、湊配法等求函數解析式的方法，求出函數的解析式，然后將自變值，代入函數解析式，進行求解；（見本題的解法一、二）二是利用湊配特殊值的方法，湊出條件成立時的特殊值，代入求解．（見本題的解法三）