Question

已知函數．

（1）求證：時，恒成立；

（2）當時，求的單調區間．

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見試題解析；（2）時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為；時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為和；時，的單調遞減區間為，無單調增區間．

【解析】

試題分析：（1）當時，，根據求函數極值的一般步驟，先求函數的定義域，再求導數，解的方程，得可能的極值點，進一步得函數的單調性，最后得的最小值，從而證得恒成立；（2）當時，先求的導數：，根據表達式的結構特征，分子為，故只需分，，幾種情況，分別求函數的單調區間．

試題解析：（1）當時，，，，令，解得：．當時，，在上單調遞減； 當時，，在上單調遞增，∴．

所以，， ． 5分

（2）的定義域為，．

①當時，，此時在區間上單調遞增，在上單調遞減；

②當時，．令，解得：．

�。┊�時，，令，解得：．令，解得：或，此時在區間上單調遞增，在和上單調遞減．

ⅱ）當時，，此時，在區間上單調遞減．

綜上，時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為；時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為和；時，的單調遞減區間為，無單調增區間． 13分

考點：1．利用導數證明不等式；2．利用導數討論函數的單調性．