Question

設f(x)=x²–2ax+2,當x∈［–1,+∞)時，f(x)＞a恒成立，求a的取值范圍 

Answer 1

a∈(–3,1

解法一:由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立
x²–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立.
考查函數g(x)=x²–2ax+2–a的圖像在［–1,+∞］時位于x軸上方. 如圖兩種情況:

不等式的成立條件是:
(1)Δ=4a²–4(2–a)＜0a∈(–2,1)
(2)a∈(–3,–2，
綜上所述a∈(–3,1).
解法二:由f(x)＞ax²+2＞a(2x+1)
令y₁=x²+2,y₂=a(2x+1),在同一坐標系中作出兩個函數的圖像.
如圖滿足條件的直線l位于l₁與l₂之間，而直線l₁、l₂對應的a值（即直線的斜率）分別為1，–3，故直線l對應的a∈(–3,1).