Question

已知二次函數.
（1）若對任意、，且，都有，求證：關于的方程
有兩個不相等的實數根且必有一個根屬于；
（2）若關于的方程在上的根為，且，設函數的圖象的對稱軸方程為，求證：.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）先構造新函數，利用證明方程
有兩個不相等的實數根，然后利用存在定理證明方程必有一個根屬于，即利用來證明；（2）將的代入方程得到的表達式，結合證明.
試題解析：（1）構造函數

，
由于函數為二次函數，所以，
對于二次函數而言，


，
若，則有且有，從而有，這與矛盾，
故，故方程有兩個不相等，
由于，
，
所以，
由零點存在定理知，方程必有一個根屬于；
（2）由題意知，化簡得，
即，則有，，
由于，則，故，即.
考點：1.二次方程根的個數的判斷；2.零點存在定理；3.二次函數圖象的對稱軸