Question

已知函數，其中是自然對數的底數.
（1）求函數的零點；
（2）若對任意均有兩個極值點，一個在區間內，另一個在區間外，
求的取值范圍；
（3）已知且函數在上是單調函數，探究函數的單調性.

Answer 1

（1）① 當時，函數有1個零點：    ② 當時，函數有2個零點：  ③ 當時，函數有兩個零點：  ④ 當時，函數有三個零點：（2）（3）探究詳見解析.

解析試題分析：（1）令n=1，n=2，求出g（x）的表達式，在分類求出g（x）=0的解即可.
（2）對函數求導，，對其分母構造函數，則=0由有一根在內，另一個在區間外，可得,即,解出a即可.
（3）由（2）可知存在 ，結合已知條件，可得函數在上是單調減函數, 所 的分子的值小于等于0，其相應的判別式小于等于0，在結合已知可證得即可.
試題解析：（1），

① 當時，函數有1個零點：                1分
② 當時，函數有2個零點：           2分
③ 當時，函數有兩個零點：            3分
④ 當時，函數有三個零點：
                      4分
（2）      5分
設，的圖像是開口向下的拋物線.
由題意對任意有兩個不等實數根，
且
則對任意,即,         7分
又任意關于遞增,,
故
所以的取值范圍是                             9分
（3）由(2)知, 存在，又函數在上是單調函數，故函數在上是單調減函數,                10分
從而即     11分
所以
由知                           13分
即對任意<