Question

已知函數（其中，e是自然對數的底數）．
（Ⅰ）若，試判斷函數在區間上的單調性；
（Ⅱ）若，當時，試比較與2的大小；
（Ⅲ）若函數有兩個極值點，（），求k的取值范圍，并證明．

Answer 1

（Ⅰ）函數在區間上是單調遞減函數；（Ⅱ）；
（Ⅲ）實數k的取值范圍是；證明詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）求導，根據其符號即可得其單調性；（Ⅱ）當時，，通過導數可得其范圍，從而得出與2的大小；（Ⅲ）函數有兩個極值點，，則，是的兩個根，即方程有兩個根.接下來就研究函數圖象特征，結合圖象便可知取何值時，方程有兩個根.

結合圖象可知，函數的兩個極值點，滿足.
，這里面有兩個變量，那么能否換掉一個呢？
由，得，利用這個關系式便可將換掉而只留：
，這樣根據的范圍，便可得，從而使問題得證.
試題解析：（Ⅰ）由可知，當時，由于，，
故函數在區間上是單調遞減函數． 3分
（Ⅱ）當時，，則，  4分
令，，
由于，故，于是在為增函數， 6分
所以，即在恒成立，
從而在為增函數，故． 8分
（Ⅲ）函數有兩個極值點，，則，是的兩個根，
即方程有兩個根，設，則，
當時，，函數單調遞增且；
當時，，函數單調遞增且；
當時，，函數單調遞減且．
要使有兩個根，只需．
故實數k的取值范圍是． 10分
又由上可知函數的兩個極值點