已知函數(shù)
.
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：對任意的
，存在唯一的
，使
；
（3）設（2）中所確定的關于
的函數(shù)為
，證明：當
時，有
.
（1）減區(qū)間是
，增區(qū)間是
；（2）詳見解析；（3）詳見解析.
解析試題分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，然后利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù)
，利用函數(shù)
的單調(diào)性與零點存在定理來證明題中結(jié)論；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論得到
，利用換元法令
得到
，于是將問題轉(zhuǎn)化為
且
，構(gòu)造新函數(shù)
，利用導數(shù)來證明
在區(qū)間
上恒成立即可.
試題解析：（1）函數(shù)的定義域為
，
，令
，得
，
當
變化時，
，的變化情況如下表：
所以函數(shù)
極小值 的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；
（2）當
時，
.設，令
，
，
由（1）知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
，
，
故存在唯一的
，使得成立；
（3）
，由（2）知，，且
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
，其中
為實數(shù).
(1)當
時，求函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值和最小值；
(2)若對一切的實數(shù)
，有
恒成立，其中
為的導函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知某工廠生產(chǎn)
件產(chǎn)品的成本為
（元），
問：（1）要使平均成本最低，應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？
（2）若產(chǎn)品以每件500元售出，要使利潤最大，應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
(
,
為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若曲線
在點
處的切線平行于
軸,求
的值;
(2)求函數(shù)
的極值;
(3)當
的值時,若直線
與曲線沒有公共點,求
的最大值.
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已知函數(shù)
，（其中常數(shù)
）
（1）當
時，求曲線在
處的切線方程；
（2）若存在實數(shù)
使得不等式
成立，求
的取值范圍.
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已知函數(shù)
，
（其中
為常數(shù)）．
（1）如果函數(shù)
和
有相同的極值點，求的值；
（2）設
，問是否存在
，使得
，若存在，請求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（3）記函數(shù)
，若函數(shù)
有5個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．
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已知函數(shù)
．
（1）當
時，求函數(shù)
的極值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間
上是減函數(shù)，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）當
時，函數(shù)
圖像上的點都在
所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實數(shù)的取值范圍．
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的直線與曲線
和
都相切，求
的值
.
在
處的切線方程；
時，求證：
；
，且
對任意
恒成立，求k的最大值.