Question

已知AB是拋物線x²=2py(p＞0)的任一弦，F為拋物線的焦點，l為準線，m為過A點且以v=(0,-1)為方向向量的直線.

(1)若過A點的拋物線的切線與y軸相交于C點，求證：|AF|=|CF|；

(2)若·+p²=0(A、B異于原點)，直線OB與m相交于點P，試求P點的軌跡方程；

(3)若AB為焦點弦，分別過A、B點的拋物線的兩條切線相交于點T，求證：AT⊥BT，且T點在l上.

Answer 1

(1)證明：如圖，設A(x₁,y₁),

    ∵y′=,

    ∴k_AC=.

    于是AC的方程為y-y₁=(x-x₁),即y=x-y₁.

    令x=0，得y=-y₁,即C(0，-y₁).

    由定義，|AF|=y₁+.

    又|CF|=-(-y₁)=y₁+,

    故|AF|=|CF|.

    (2)解：設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),P(x,y),

    ·+p²=0x₁x₂+y₁y₂+p²=0x₁x₂++p²=0(+p)²=0.

    ∴x₁x₂=-2p².

    直線OB的方程為y=x=x,          ①

    直線m的方程為x=x₁,                           ②

    ①×②得xy=xxy+px=0,

    ∵x≠0,∴y=-p.

    故P點的軌跡方程為y=-p.

(3)證明：設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、T(x₀,y₀),則k_AT=,k_BT=.

    由于AB是焦點弦，可設AB的方程為y=kx+，代入x²=2py,得x²-2pkx-p²=0.∴x₁x₂=-p².

    于是k_AT·k_BT==-1,故AT⊥BT.

    由(1)知，AT的方程為y=x-y₁,

    ∴y₀=x₀-y₁,即x₀x₁-py₁=py₀.

    同理,x₀x₂-py₂=py₀,

    ∴AB的方程為x₀x-py=py₀.

    又∵AB過焦點，∴-=py₀,即y₀=-.

    故T點在準線l上.