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已知AB是拋物線x2＝2py(p＞0)的任一弦，F為拋物線的焦點，l為準線．m為過A點且以為方向向量的直線．

(1)若過點的拋物線的切線與y軸相交于C點，求證：|AF|＝|CF|；

(2)若(A、B異于原點)，直線OB與m相交于點M，試求點M的軌跡方程；

(3)若AB為焦點弦，分別過A、B點的拋物線的兩條切線相交于點T，求證：AT⊥BT，且T點在l上．

答案：
解析：

　　(1)如圖所示，設，易知點即為切點．

　　∵，∴，于是的方程為：，即：，令，得即由拋物線的定義可知，．

　　又∴．　　4分;

　　(2)設∵·，∴，∴，．直線的方程：　　①　　6分

　　直線m的方程：　　　　　　②，①×②，得，∴

　　∵，∴，∴點的軌跡方程為．　　8分;

　　(3)設，易知、為切點，則

　　由于是焦點弦，可設的方程為：，代入，得：，

　　∴，∴，∴．　　10分

　　由(1)知，的方程：，

　　∴，即：．又∵過焦點，∴，∴，∴點在準線l上．　　12分


練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知AB是拋物線y2=ax（a＞0）的焦點弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），點F是拋物線的焦點，則有x1x2=
a2
16
a2
16
，y1y2=
-
a2
4
-
a2
4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知AB是拋物線y2=ax（a＞0）的焦點弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），點F是拋物線的焦點，則|AB|=
a
sin2θ
a
sin2θ
（θ為直線AB的傾斜角）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知AB是拋物線y2=ax（a＞0）的焦點弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），點F是拋物線的焦點，則有S△AOB=
a2
8sinθ
a2
8sinθ
（θ為直線AB的傾斜角）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知AB是拋物線x2=2py(p＞0)的任一弦，F為拋物線的焦點，l為準線，m為過A點且以v=(0,-1)為方向向量的直線.

(1)若過A點的拋物線的切線與y軸相交于C點，求證：|AF|=|CF|；

(2)若·+p2=0(A、B異于原點)，直線OB與m相交于點P，試求P點的軌跡方程；

(3)若AB為焦點弦，分別過A、B點的拋物線的兩條切線相交于點T，求證：AT⊥BT，且T點在l上.

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