Question

已知正項數列的首項，前項和滿足．
（Ⅰ）求證：為等差數列，并求數列的通項公式；
（Ⅱ）記數列的前項和為，若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

解析試題分析：（Ⅰ）求證為等差數列，只需證等于常數，由，而，代入整理可得為等差數列，從而求出數列的通項公式；（Ⅱ）不等式恒成立，轉化為求的最大值，而的前項和為可用拆項相消法求得的最大值，從而解一元二次不等式得實數的取值范圍．
試題解析：（Ⅰ）證明：當時，，又，，因為，，， 即，，所以數列是首項為，公差為的等差數列．
由此可得，由，當時，也適合，所以 ；
（Ⅱ）因為，
所以， ， ，對任意的，不等式恒成立，，解得，
所以對任意的，不等式恒成立，實數的取值范圍．
考點：1、等差數列的證明，2、與的關系，3、求數列的通項公式，4、數列求和，5、解一元二次不等式．