已知橢圓C的兩個焦點是
)和
，并且經過點
，拋物線的頂點E在坐標原點，焦點恰好是橢圓C的右頂點F．
（1）求橢圓C和拋物線E的標準方程；
（2）過點F作兩條斜率都存在且互相垂直的直線l1、l2，l1交拋物線E于點A、B，l2交拋物線E于點G、H，求
的最小值．
（1）橢圓C的標準方程為
，拋物線E的標準方程為
．（2）
有最小值為16．
解析試題分析：（1）由于橢圓上任意一點到焦點的距離都等于
,所以
，
，由此即得橢圓的標準方程．橢圓右頂點F的坐標為(1，0)，所以拋物線E的標準方程為．（2）設
，
，
，
，則
.再設l1的方程：
，l2的方程
，用韋達定理將上式表示為
即可求得其最小值.
試題解析：（1）設橢圓的標準方程為
(a>b>0)，焦距為2c，
則由題意得c=
，，
∴，
∴橢圓C的標準方程為． 4分
∴右頂點F的坐標為(1，0)．
設拋物線E的標準方程為
，∴ 
，
∴拋物線E的標準方程為． 6分
（2）設l1的方程：，l2的方程，，，，，
由
消去y得：
，
∴
．
由
消去y得：
，
∴
9分
∴
．
當且僅當
即
時，有最小值16． 13分
考點：1、橢圓與拋物線的方程；2、直線與圓錐曲線的位置關系.
同步練習強化拓展系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F和橢圓
的右焦點重合,直線
過點F交拋物線于A、B兩點.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若直線交y軸于點M,且
,m、n是實數,對于直線,m+n是否為定值?
若是,求出m+n的值；否則,說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線x2＝4y的焦點為F，過焦點F且不平行于x軸的動直線交拋物線于A、B兩點，拋物線在A、B兩點處的切線交于點M.
(1)求證：A、M、B三點的橫坐標成等差數列；
(2)設直線MF交該拋物線于C、D兩點，求四邊形ACBD面積的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點在原點，經過點A(2，2)，其焦點F在x軸上．
(1)求拋物線C的標準方程；
(2)求過點F，且與直線OA垂直的直線的方程；
(3)設過點M(m，0)(m>0)的直線交拋物線C于D、E兩點，ME＝2DM，記D和E兩點間的距離為f(m)，求f(m)關于m的表達式．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的左、右焦點分別為
、
， 焦距為2，過作垂直于橢圓長軸的弦長
為3
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點的動直線
交橢圓于A、B兩點，判斷是否存在直線使得
為鈍角，若存在，求出直線的斜率
的取值范圍
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓的中心為坐標原點O，橢圓短半軸長為1，動點M(2，t)(t>0)在直線x＝
(a為長半軸，c為半焦距)上．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)求以OM為直徑且被直線3x－4y－5＝0截得的弦長為2的圓的方程；
(3)設F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：
＝1(a＞b＞0)的離心率為
，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切．
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知點P(0，1)，Q(0，2)．設M、N是橢圓C上關于y軸對稱的不同兩點，直線PM與QN相交于點T，求證：點T在橢圓C上．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓E:
+
=1(a>b>0),以拋物線y2=8x的焦點為頂點,且離心率為
.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若F為橢圓E的左焦點,O為坐標原點,直線l:y=kx+m與橢圓E相交于A、B兩點,與直線x=-4相交于Q點,P是橢圓E上一點且滿足
=
+
,證明·
為定值,并求出該值.
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＝1有共同的漸近線，且過點(－3，2
)；
＝1有公共焦點，且過點(3
，2)．