Question

（2010•武昌區模擬）某單位選派甲、乙、丙三人組隊參加“2010上海世博會知識競賽”，甲、乙、丙三人在同時回答一道問題時，已知甲答對的概率是

3

4

，甲、丙兩人都答錯的概率是

1

12

，乙、丙兩人都答對的概率是

1

4

，規定每隊只要有一人答對此題則記該隊答對此題．
（Ⅰ）求該單位代表隊答對此題的概率；
（Ⅱ）此次競賽規定每隊都要回答10道必答題，每道題答對得20分，答錯除該題不得分外還要倒扣去10分．若該單位代表隊答對每道題的概率相等且回答任一道題的對錯對回答其它題沒有影響，求該單位代表隊必答題得分的期望（精確到1分）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設P_i為甲、乙、丙三人分別回答一道問題時答對的概率（，i=1，2，3）根據相互獨立事件的概率公式列出方程組，求出P_i值，利用獨立事件及相互獨立事件的概率公式求出該單位代表隊答對此題的概率；
（Ⅱ）設該單位代表隊答對的題目個數為ξ，得分為η根據題意判斷出ξ～B（10，

91

，96

）且η=20ξ-10（10-ξ）=30ξ-100
根據二項分布的期望公式求出該單位代表隊必答題得分的期望．

解答：解：（I）設P_i為甲、乙、丙三人分別回答一道問題時答對的概率（i=1，2，3）
據題意得P1=

3

4

，(I-p1)(1-p3)=

1

12

所以P3=

2

3

又P2P3=

1

4

所以P3=

3

8

該單位代表隊答對此題的概率1-（I-p₁）（1-P₂）（1-p₃）=1-

1

4

×

5

8

×

1

3

=

91

96

（II）設該單位代表隊答對的題目個數為ξ，得分為η則
ξ～B（10，

91

，96

）且η=20ξ-10（10-ξ）=30ξ-100
故Eη=30Eξ-100=30×10×

91

96

-100=

1475

8

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查運用概率知識解決實際問題的能力，相互獨立事件是指，兩事件發生的概率互不影響，注意應用相互獨立事件同時發生的概率公式．