Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓的離心率為，定點，橢圓短軸的端點是，，且.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設過點且斜率不為的直線交橢圓于，兩點.試問軸上是否存在定點，使平分？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

(1)  (2)

試題分析：（Ⅰ）解：由 ， 得 .
依題意△是等腰直角三角形，從而，故.
所以橢圓的方程是. 
（Ⅱ）解：設，，直線的方程為.  
將直線的方程與橢圓的方程聯立，
消去得 .
所以 ，. 
若平分，則直線，的傾斜角互補，
所以.
設，則有 .
將 ，代入上式，
整理得 ，
所以 . 
將 ，代入上式，
整理得 . 
由于上式對任意實數都成立，所以 .
綜上，存在定點，使平分.
點評：解決的關鍵是對于直線與橢圓的位置關系的聯立方程組，設而不求的代數思想來解決解析幾何的本質，屬于基礎題。