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已知P為△ABC內一點，且3
AP
+4
BP
+5
CP
=0.延長AP交BC于點D，若
AB
=a，
AC
=b，用a、b表示向量
AP
、
AD
．
分析：將
BP
，
CP
利用向量的減法法則用
AP
，
a
，
b
表示，代入已知等式解方程求出
AP
；據共線向量的充要條件及平面向量基本定理及向量相等，列出方程組求出．
解答：解：∵
BP
=
AP
-
AB
=
AP
-a，
CP
=
AP
-
AC
=
AP
-b，
又3
AP
+4
BP
+5
CP
=0，
∴3
AP
+4(
AP
-a)+5(
AP
-b)=0，
化簡，得
AP
=
1
3
a+
5
12
b．
設
AD
=t
AP
（t∈R），
則
AD
=
1
3
ta+
5
12
tb．①
又設
BD
=k
BC
（k∈R），由
BC
=
AC
-
AB
=b-a，得
BD
=k（b-a）．而
AD
=
AB
+
BD
=a+
BD
，
∴
AD
=a+k（b-a）=（1-k）a+kb．②
由①②，得
1
3
t=1-k
5
12
t=k.
解得t=
4
3
.
代入①，有
AD
=
4
9
a+
5
9
b．
點評：本題考查向量的運算三角形法則；共線向量的充要條件；平面向量的基本定理．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知O為平面內一定點，設條件p：動點M滿足
OM
=
OA
+λ（
AB
+
AC
），λ∈R；條件q：點M的軌跡通過△ABC的重心．則條件p是條件q的（　　）
A、充要條件
B、充分不必要條件
C、必要不充分條件
D、既不充分也不必要條件

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知P為△ABC內一點，且
PB
+
PC
+2
PA
=
0
，現隨機將一顆豆子撒在△ABC內，則豆子落在△PBC內的概率為
1
2
1
2
．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知P為△ABC內一點，且
PB
+
PC
+2
PA
=
0
，現隨機將一顆豆子撒在△ABC內，則豆子落在△PBC內的概率為______．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年內蒙古包頭33中高一（下）期末數學試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

已知P為△ABC內一點，且=，現隨機將一顆豆子撒在△ABC內，則豆子落在△PBC內的概率為    ．

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年陜西省寶雞中學高三（上）第一次月考數學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知O為平面內一定點，設條件p：動點M滿足=+λ（+），λ∈R；條件q：點M的軌跡通過△ABC的重心．則條件p是條件q的（ ）
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件

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