Question

已知x=-

1

2

是函數f（x）=ln（x+1）-x+

a

2

x²的一個極值點．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導函數，再利用x=-

1

2

是函數f（x）的一個極值點，即f′（-

1

2

）=0，從而可求a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f′（x）=

1

x+1

+2x-1，從而可求y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率k=

3

2

，進而可求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=ln（x+1）-x+

a

2

x²，
∴f′（x）=

1

x+1

-1+ax
∵x=-

1

2

是函數f（x）的一個極值點．
∴f′（-

1

2

）=0，
∴2-1-

a

2

=0，故a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f′（x）=

1

x+1

+2x-1
從而曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率k=

3

2

，又f（1）=ln2，
故曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=

3

2

x+ln2-

3

2

．

點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查導數的幾何意義，有一定的綜合性．