Question

(本小題滿分14分)

如圖，在四棱錐E—ABCD中，底面ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB＝90°，BE＝BC，F為CE的中點(diǎn)，求證：
(1) AE∥平面BDF；
(2) 平面BDF⊥平面BCE．

Answer 1

見解析。

本試題主要是考查了立體幾何中線面的平行的判定和面面垂直的證明的運(yùn)用。
（1）根據(jù)已知條件，底面ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB＝90°，BE＝BC，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，設(shè)AC∩BD＝G，連結(jié)FG，易知G是AC的中點(diǎn)，
因?yàn)?F是EC中點(diǎn)，所以在△ACE中，F(xiàn)G∥AE可知結(jié)論。
（2）因?yàn)?平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以 BC⊥平面ABE，從而得到BC⊥AE，再利用線面垂直得到面面垂直的判定。
證明：(1) 設(shè)AC∩BD＝G，連結(jié)FG，易知G是AC的中點(diǎn)，
因?yàn)?F是EC中點(diǎn)，所以 在△ACE中，FG∥AE．………2分
因?yàn)?AE?平面BDF，FG?平面BDF，
所以 AE∥平面BDF． ………………………………………6分
(2) 因?yàn)?平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以 BC⊥平面ABE．………8分
因?yàn)?AE?平面ABE，所以 BC⊥AE．…………………………………………………………10分
又AE⊥BE，BC∩BE＝B，所以 AE⊥平面BCE，又FG∥AE，
所以FG⊥平面BCE，……………………………………………………………………………12分
因?yàn)?FG?平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCE．………………………………………………14分