Question

設等差數列{a_n}、{b_n}的前n項和分別為S_n和T_n，且,S₂=6；函數y=g(x)是函數f(x)=2x+1的反函數，且c_n=g(c_n-1)(n∈N，n＞1)，c₁=1.

(1)求常數A的值及函數y=g(x)的解析式；

(2)求數列{a_n}及{c_n}的通項公式；

(3)若d_n=,試求d₁+d₂+…+d_n．

Answer 1

解:(1)由知:

而

∴  解得A=1

令y=2x+1  得x=,即g(x)=

(2)令S_n=kn(n+1)  ∵S₂=6,得k=1,即S_n=n²+n.

當n=1時,a₁=S₁=2,

當n≥2時,a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[(n-1)²+(n-1)]

綜合之:a_n=2n  (6分)

由題意:c_n=(c_n-1-1)

變形得:c_n+1=(c_n-1+1)

∴數列{c_n+1}是為公比,以c₁+1=2為首項的等比數列.

∴c_n+1=2·  即c_n=-1 

(3)當n=2k+1時,d₁+d₂+…+d_n

=(a₁+a₃+…+a_2k+1)+(c₂+c₄+…+c_2k)

 

當n=2k時,d₁+d₂+…+d_n

=(a₁+a₃+…+a_2k-1)+(c₂+c₄+…+c_2k)

=

=

 

綜合之：d₁+d₂+…+d_n

=