Question

已知f(x)=4x+ax²-x³(x∈R)在區間［-1,1］上是增函數.

(1)求實數a的值組成的集合A.

(2)設關于x的方程f(x)=2x+x³的兩個非零實根為x₁、x₂,試問:是否存在實數m,使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對于任意a∈A及t∈［-1,1］恒成立?若存在,求m的取值范圍；若不存在,請說明理由.

Answer 1

解析:(1)f′(x)=4+2ax-2x².?

因為f(x)在［-1,1］上是增函數,?

所以f′(x)≥0對x∈［-1,1］恒成立,?

即x²-ax-2≤0對x∈［-1,1］恒成立.                         ①?

設g(x)=x²-ax-2.?

方法一:

因為對x∈［-1,1］,只有當a=1時,f′(-1)=0.?

以及當a=-1時,f′(1)=0,?

所以A={a|-1≤a≤1}.?

方法二:

0≤a≤1或-1≤a≤0-1≤a≤1.?

因為對x∈［-1,1］,只有當a=1時,f′(-1)=0以及當a=-1時,f′(1)=0,?

所以A={a|-1≤a≤1}.?

(2)由4x+ax²-x³=2x+x³,?

得x=0或x²-ax-2=0.?

因為Δ=a²+8＞0,?

所以x₁、x₂是方程x²-ax-2=0的兩非零實根.?

因為x₁+x₂=a,x₁x₂=-2,?

又因為-1≤a≤1,|x₁-x₂|=

要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈［-1,1］恒成立,

當且僅當m²+tm+1≥3對任意t∈［-1,1］恒成立,                                 ②?

即m²+tm-2≥0對任意t∈［-1,1］恒成立.?

設h(t)=m²+tm-2=mt+(m²-2),則?

所以存在滿足題設的m,其取值范圍為{m|m≥2或m≤-2}.