Question

已知函數
（1）當a=2時，求函數f（x）的單調區間．
（2）若不等式對任意的x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=2時，根據函數解析式，求出函數的導函數，分析導函數的符號，進而判斷出函數f（x）的單調區間．
（2）令f'（x）=0，根據導函數零點，分段討論函數的單調性和最值，進而根據不等式對任意的x∈R恒成立，不大于函數的最小值，構造關于a的方程
解答：解：（1）當a=2時，

f'（x）=e^2x•（2x²-2）=2e^2x•（x+1）（x-1）
∵x∈（-1，1）時，f'（x）＜0，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時，f'（x）＞0，
∴減區間為（-1，1），增區間為（-∞，-1）和（1，+∞）…（5分）
（2）f'（x）=e^ax•（ax+2）（x-1）
令f'（x）=0，則或x=1
∵a＞0
列表

x	（）		（，1）	1	（1，+∞）
f'x	+		-		+
f（x）		極大值		極小值

∴當x=1時，f（x）有最小值
∴依題意即可
∴e^a≤3⇒a≤ln3
解得0＜a≤ln3…（12分）
點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性及函數的最值，函數恒成立問題，這導數應用的經典題型