Question

已知a∈R，給出下面兩個命題：命題p：“在x∈[1，2]內，不等式x²+2ax-2＞0恒成立”；命題q：“關于x的不等式（a²-1）x²+（a-1）x-2＞0的解集為空集”；當p、q中有且僅有一個為真命題時，求實數a的取值范圍．

Answer 1

∵x∈[1，2]時，不等式x²+2ax-2＞0恒成立
∴2a＞

2-x2

x

=

2

x

- x，
在x∈[1，2]上恒成立，
令g（x）=

2

x

- x，
則g（x）在[1，2]上是減函數，g（x）_max=g（1）=1，
∴2a＞1．∴若命題p真，則a＞

1

2

，
當命題q真時，a應滿足a=1或

a2-1＜0 △≤0

，解得-

7

9

≤a≤1，
∴當p、q中有且僅有一個為真命題時，即

a＞ 1 2 a＞1或a＜- 7 9

或

a≤ 1 2 - 7 9 ≤a≤1

，
∴a∈[-

7

9

，

1

2

]∪(1，+∞)．