Question

已知a∈R，給出下面兩個命題：命題p：“在x∈[1，2]內，不等式x²+2ax-2＞0恒成立”；命題q：“關于x的不等式（a²-1）x²+（a-1）x-2＞0的解集為空集”；當p、q中有且僅有一個為真命題時，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：∵x∈[1，2]時，不等式x²+2ax-2＞0恒成立
∴2a，
在x∈[1，2]上恒成立，
令g（x）=，
則g（x）在[1，2]上是減函數，g（x）_max=g（1）=1，
∴2a＞1．∴若命題p真，則a＞，
當命題q真時，a應滿足a=1或，解得，
∴當p、q中有且僅有一個為真命題時，即或，
∴．
分析：兩個命題中有且只有一個是真命題，則需要對p、q的誰真誰假分情況討論．對于命題p可以利用分參思想轉化為恒成立問題．對于命題q：不等式的解集為空集，a應滿足a=1或，即可求出命題q，然后根據當p、q中有且僅有一個為真命題時，分情況討論，即可求得實數a的取值范圍．．
點評：此題是個中檔題．本題考查二次不等式恒成立求參數范圍、二次不等式的解法、分類討論的數學思想方法，同時考查學生對題意的理解與轉化和計算能力．