Question

（本小題滿分14分）
設數列的通項公式為. 數列定義如下：對于正整數m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，求數列的前2m項和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）存在p和q，使得；p和q的取值范圍分別是，. 

（Ⅰ）由題意，得，解，得. ---------------2分
∴成立的所有n中的最小整數為7，即.-----------4分
（Ⅱ）由題意，得，對于正整數，由，得.       -------------------6分
根據的定義可知：當時，；當時，.
∴

.    ---------------------9分
（Ⅲ）假設存在p和q滿足條件，由不等式及得.------10分
∵,根據的定義可知，對于任意的正整數m都有
，即對任意的正整數m都成立.
當（或）時，得（或），----12分
這與上述結論矛盾！
當，即時，得，解得.
∴ 存在p和q，使得；
p和q的取值范圍分別是，.      ----------14分