Question

設遞增等比數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂=3，S₃=13，數列{b_n}滿足b₁=a₁，點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，n∈N^*．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設c_n=

bn

an

，數列{c_n}的前n項和T_n，若T_n＞2a-1恒成立（n∈N^*），求實數a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）∵遞增等比數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂=3，S₃=13，
∴

a2=3 S3=a1+a2+a3=13

，
解得q=3或q=

1

3

，
∵數列{a_n}為遞增等比數列，所以q=3，a₁=1．
∴{a_n}是首項為1，公比為3的等比數列．
∴an=3n-1．…（3分）
∵點P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，
∴b_n+1-b_n=2．
∴數列{b_n}是首項為1，公差為2的等差數列．
∴b_n=1+（n-1）•2=2n-1．…（5分）
（Ⅱ）∵cn=

bn

an

=

2n-1

3n-1

，
∴Tn=

1

30

+

3

31

+

5

32

+…+

2n-1

3n-1

．

1

3

Tn=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-3

3n-1

+

2n-1

3n

，…（7分）
兩式相減得：

2

3

Tn=

1

3

+

2

3

+

2

32

+…+

2

3n-1

-

2n-1

3n

=1+2×

1 3 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-

2n-1

3n

=2-（

1

3

）^n-1-

2n-1

3n

．…（8分）
所以Tn=3-

1

2•3n-2

-

2n-1

2•3n-1

=3-

n+1

3n-1

．…（9分）
∵Tn+1-Tn=3-

n+2

3n

-3+

n+1

3n-1

=

2n+1

3n

＞0，…（10分）
∴T_n≥T₁=1．
若T_n＞2a-1恒成立，則1＞2a-1，
解得a＜1．
∴實數a的取值范圍{a|a＜1}．…（12分）