Question

(本小題滿分13分)
已知函數的導數．a，b為實數，．
(1)   若在區間上的最小值、最大值分別為、1，求a、b的值；
(2)   在 (1) 的條件下，求曲線在點P（2，1）處的切線方程；
(3)   設函數，試判斷函數的極值點個數．

Answer 1

（1），（2）（3）2

(1) 由已知得，，由，得，．
∵，，
∴當時，，遞增；
當時，， 遞減．
∴在區間上的最大值為，∴．
又，，∴．
由題意得，即，得．故，為所求．
(2) 由 (1) 得，，點在曲線上．
當切點為時，切線的斜率，
∴的方程為，即．
(3) ．
∴
．  
二次函數的判別式為
，令，
得：令，得 
∵，，
∴當時，，函數為單調遞增，極值點個數為0；
當時，此時方程有兩個不相等的實數根，
根據極值點的定義，可知函數有兩個極值點．