Question

下圖是一個直三棱柱（以A₁B₁C₁為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC。已知A₁B₁=B₁C₁=1，∠A₁B₁C₁=90°，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3，
（1）設點O是AB的中點，證明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（2）求二面角B-AC-A₁的大小；
（3）求此幾何體的體積．

Answer 1

（1）證明：作交于D，連， 則， 因為O是AB的中點， 所以， 則是平行四邊形，因此有， 平面， 則OC∥面． （2）解：如圖，過B作截面， 分別交， 作于H，連結CH， 因為， 所以， 則BH⊥平面， 又因為， 所以BC⊥AC，根據三垂線定理知CH⊥AC， 所以∠BCH就是所求二面角的平面角， 因為， 所以，故∠BCH=30°， 即所求二面角的大小為30°。 （3）因為， 所以， ， 所求幾何體體積為。