Question

(1) 給定正整數(shù)n5,集合 A_n=.是否存在一一映射 : A_nA_n滿足條件：對一切k ( 1 k n－1 ) , 都有k | (1)+(2) +……+(k) ?    

(2) N^* 為全體正整數(shù)的集合,是否存在一一映射 : N^* N^* 滿足條件：對一切kN^*, 都有k | (1)+(2) + ……+(k) ?

證明你的結(jié)論 .

注: 映射 : AB 稱為一一映射,如果對任意 bB,有且只有一個 aA 使得 (a)=b . 題中“|”為整除符號.

Answer 1

解析：(1) 不存在.                                                            ( 5 分)記 S _k =.當(dāng) n = 2m+1 時 ( m 2 ), 由 2m | S _{2 m} 及S _{2 m}= －(2m+1) 得 (2m+1)m+1(mod 2m), 但 (2m+1)A _2m+1,故(2m+1)= m+1.再由 2m－1 | S_2m－1及

S_2m－1=－(m+1)－(2m) 得(2m) m+1(mod 2m－1),又有(2m)= m+1,與

的一一性矛盾.                                                                  ( 5 分)

      當(dāng) n = 2m+2 時 ( m2 ), S_2m+1=－(2m+2) 給出(2m+2)=1 或 2m+2,

同上又得(2m+1)= (2m)= m+2 或 m+1 ,矛盾.                                     ( 5 分)

(2) 存在. 對n 歸納定義(2n－1)及(2n) 如下：                               ( 5 分)

令(1)=1, (2)=3 .設(shè)已定義出不同的正整數(shù)值(k) (1k2n)滿足整除條件且包含 1,2,…,n ,設(shè) v 是未取到的最小正整數(shù)值,由于 2n+1 與 2n+2 互素,根據(jù)孫子定理,存在不同于v及(k) (1k2n)的正整數(shù)u滿足同余式組

 u－S_2n(mod 2n+1)－S_2n－v (mod 2n+2) .     ( 5 分)

      定義(2n+1)=u, (2n+2)=v .則正整數(shù)(k) ( 1k2n+2 )也互不相同,滿足整除條件,且包含

1,2,…,n+1 .根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理,已經(jīng)得到符合要求的一一映射

：N^*  N^*.             ( 5 分)