Question

設關于x的方程是x²-(tanθ+i)x-(2+i)=0,

(1)若方程有實根,求銳角θ和實數根;

(2)求證：對任意θ≠kπ+(k∈Z)方程無純虛數根.

Answer 1

（1）解：設方程的實根為a，則a²-（tanθ+i）a-（2+i）=0，

即a²-tanθ·a-2-(a+1)i=0.

∵a·tanθ∈R，∴

∴a=-1且tanθ=1.

又0＜θ＜,∴θ=,a=-1.

(2)證明：假設方程有純虛數根bi(b∈R,b≠0),則

(bi)²-(tanθ+i)·bi-(2+i)=0.

∴-b²+b-2=0,                              ①

且-tanθ·b-1=0.                                   ②

由②得b=-cotθ,代入①得cot²θ+cotθ+2=0,此方程Δ=1-8＜0,∴cotθ為虛數,與cotθ∈R矛盾,假設不成立.∴原方程對于任意實數θ不可能有純虛數根.