Question

i設關于x的方程是x²-(tanθ+i)x-(2+i)=0.

(1)若方程有實數根,求銳角θ和實數根;

(2)證明對任意θ≠kπ+(k∈Z),方程無純虛數根.

Answer 1

剖析:(1)對于復數方程存在實根的問題,一般可先設出實根,然后再利用復數相等的條件求解.

    (2)直接證明有困難時,可用反證法.

(1)解:設實數根為α,則α²-(tanθ+i)α-2(2+i)=0,

    即α²-tanθ·α-2-(α+1)i=0.

    ∴

    又θ∈(0,),∴θ=,α=-1.

    (2)證明:若方程有純虛數根βi(β∈R,β≠0),則(βi)²-(tanθ+i)·(βi)-(2+i)=0.

    ∴

    此方程組無解,

    ∴原方程沒有純虛數根.