Question

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，現將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如圖乙），設點E，F分別為棱AC，AD的中點．

（1）求證：DC⊥平面ABC．
（2）設CD=a，求三棱錐A-BFE的體積．

Answer 1

分析：（1）根據△ABD是含有45°的等腰三角形，得到AB⊥BD，利用面面垂直性質定理證出AB⊥平面BDC，從而得到AB⊥CD，結合DC⊥BC且AB∩BC=B，可得DC⊥平面ABC；
（2）由EF是△ACD的中位線，得EF∥CD，結合（1）的結論得到EF⊥平面ABC，所以EF為三棱錐F-AEB的高．利用題中數據算出△AEB的面積，根據錐體體積公式算出三棱錐F-AEB的體積，即可得到三棱錐A-BFE的體積．

解答：解：（1）在圖甲中，
∵AB=BD且∠A=45°，∴∠ADB=45°，∠ABD=90°，即AB⊥BD，
在圖乙中，
∵平面ABD⊥平面BDC，平面ABD∩平面BDC=BD，∴AB⊥平面BDC，
∵CD?平面BDC，∴AB⊥CD．
又∠DCB=90°即DC⊥BC，且AB∩BC=B，∴DC⊥平面ABC；
（2）∵E、F分別為AC、AD的中點，∴EF∥CD，
又由（1）知，DC⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，得EF為三棱錐F-AEB的高，
∴V_A-BFE=V_F-AEB=S_△AEB•EF．
∵在圖甲中，∠ADC=105°，∴∠BDC=60°，∠DBC=30°．
Rt△BCD中，由CD=a得BD=2a，BC=

3

a，EF=

1

2

CD=

1

2

a，
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×2a×

3

a=

3

a²，∴S_△AEB=

1

2

S_△ABC=

3

2

a²，
因此，三棱錐A-BFE的體積V_A-BFE=

1

3

×

3

2

a²×a=

3

6

a³．

點評：本題以一個平面圖形的折疊為載體，求證線面垂直并求錐體的體積．著重考查了線面垂直的判定與性質、面面垂直的性質定理和錐體的體積求法等知識，屬于中檔題．