Question

（2010•重慶一模）已知F是拋物線y²=4x的焦點，Q是拋物線的準線與x軸的交點，直線l經過點Q．
（Ⅰ）若直線l與拋物線恰有一個交點，求l的方程；
（Ⅱ）如題20圖，直線l與拋物線交于A、B兩點，
（ⅰ）記直線FA、FB的斜率分別為k₁、k₂，求k₁+k₂的值；
（ⅱ）若線段AB上一點R滿足

|AR|

|RB|

=

|AQ|

|QB|

，求點R的軌跡．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意得：Q（-1，0），直線l斜率存在，設其斜率為k，則l的方程為y=k（x+1），代入拋物線方程有：k²x²+（2k²-4）x+k²=0，對k進行討論，從而得解；
（Ⅱ）（ⅰ）記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分別用坐標表示直線FA、FB的斜率分別為k₁、k₂，利用韋達定理，從而可求k₁+k₂的值；
（ⅱ）設點R的坐標為（x，y），利用

|AR|

|RB|

=

|AQ|

|QB|

，可得

y-y1

y2-y

=

y1-0

y2-0

，故可求y=

2y1y2

y1+y2

=

2×4

4 k

=2k
從而可得點R的軌跡．

解答：解：依題意得：Q（-1，0），直線l斜率存在，設其斜率為k，則l的方程為y=k（x+1），代入拋物線方程有：k²x²+（2k²-4）x+k²=0…（2分）
（Ⅰ）若k≠0，令△=0得，k=±1，此時l的方程為y=x+1，y=-x-1．
若k=0，方程有唯一解．此時l的方程為y=0…（4分）
（Ⅱ）顯然k≠0，記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

4-2k2

k2

，x1x2=1，y1+y2=

4

k

，y₁y₂=k²（x₁x₂+x₁+x₂+1）=4…（6分）
（ⅰ）k1+k2=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=

2k(x1x2-1)

(x1-1)(x2-1)

=0…（8分）
（ⅱ）設點R的坐標為（x，y），
∵

|AR|

|RB|

=

|AQ|

|QB|

，
∴

y-y1

y2-y

=

y1-0

y2-0

，
∴y=

2y1y2

y1+y2

=

2×4

4 k

=2k
∴x=

1

k

y-1=2-1=1…（10分）
由△＞0得，-1＜k＜1，又k≠0，
∴y∈（-2，0）∪（0，2）．
綜上，點R的軌跡為x=1，y∈（-2，0）∪（0，2）…（12分）

點評：本題以拋物線為載體，考查直線與拋物線的位置關系，考查軌跡的探求，有一定的綜合性．