Question

若f(x)=

ax+3

x+2

在區間（-2，+∞）上是減函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：利用函數單調遞減的定義，設-2＜x₁＜x₂，再作差f（x₁）-f（x₂）后化積，根據f(x)=

ax+3

x+2

在區間（-2，+∞）上是減函數，可求得a的取值范圍．

解答：解：對任意的-2＜x₁＜x₂
f(x1)-f(x2)=

ax1+1

x1+2

-

ax2+1

x2+2

= (ax1+1)(x2+2)-(ax2+1)(x1+2) (x1+2)(x2+2) = (ax1x2+2ax1+x2+2)-(ax1x2+2ax2+x1+2) (x1+2)(x2+2) = 2ax1-x1-2ax2+x2 (x1+2)(x2+2) = (2a-1)(x1-x2) (x1+2)(x2+2)

∵-2＜x₁＜x₂，則x₁+2＞0，x₂+2＞0，x₁-x₂＜0，
由f(x)=

ax+1

x+2

在區間（-2，+∞）上是減函數得f（x₁）-f（x₂）＞0，即

(2a-1)(x1-x2)

(x1+2)(x2+2)

＞0，
∴2a-1＜0
∴a＜

1

2

．

點評：本題考查函數單調性的性質，難點在于思路突破口的選擇，著重考查函數單調遞減的定義的應用，突出化歸思想的考查，屬于中檔題．