Question

曲線y=x³在點（a，a³）（a＞0）處的切線與x軸、直線x=a所圍成的三角形的面積為

1

6

，則a=

 

．

Answer 1

分析：先求出在點（a，a³）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故要利用導數求出在x=a處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率，從而問題解決．

解答：解：∵y=x³，
∴y'=3x²，當x=a時，y'=3得切線的斜率為3a²，所以k=3a²；
所以曲線在點（a，a³）處的切線方程為：
y-a³=3a²×（x-a），即3a²x-y-2a³=0．
令y=o得：x=

2

3

a，
∴切線與x軸、直線x=1所圍成的三角形的面積為：
S=

1

2

×（a-

2

3

）×a3=

1

6

∴a=1
故答案為1．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，屬于基礎題．