Question

拋物線y²=4x的頂點為O，點A的坐標為（5，0），傾斜角為

π

4

的直線l與線段OA相交（l不過點O和點A）且交拋物線于M、N兩點，則△AMN的最大面積為

 

．

Answer 1

分析：根據斜率設出直線l的方程：y=x+b，S=

1

2

×|AB|×|y₁-y₂|，將直線方程與拋物線方程聯立，表示出|y₁-y₂|=

(y1+y2) 2-4y1y2

=

16-16b

=4

1-b

，進而求出面積的最大值．

解答：解：設直線l：y=x+b，直線與x軸交點坐標為B（-b，0），
|AB|=|5+b|，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
聯立y=x+b和y²=4x得y²-4y+4b=0   
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2) 2-4y1y2

=

16-16b

=4

1-b

三角形AMN的最大面積S=

1

2

×|AB|×|y₁-y₂|=2|5+b|×

1-b

=2×

-b3-9b2-15b+25

[-b³-9b²-15b+25]'=-3b²-18b-15=0，∴b=-1或b=-5（舍）
∴b=-1時，最大面積S=2×

-b3-9b2-15b+25

=8

2

故答案為：8

2

．

點評：本題考查了拋物線的應用，直線與圓錐曲線聯立，利用韋達定理，是圓錐曲線中經常碰到的題型，應該熟練掌握．