Question

設函數f（x）=lnx+x²-2ax+a²，a∈R．
（I）若a=0，求函數f（x）在[1，e]上的最小值；
（II）若函數f（x）在[

1

2

，2]上存在單調遞增區間，求實數a的取值范圍；
（III）求函數f（x）的極值點．

Answer 1

分析：（I）把a=0代入f（x），對其進行求導，利用導數研究其最值問題；
（II）對f（x）進行求導，將其轉化為在區間[

1

2

，2]上存在于區間使得不等式g（x）＞0恒成立，根據拋物線的性質可以看出，圖象開口向上，利用根與系數的關系進行求解；
（III）對f（x）進行求解，可以設出h（x）=2x²-2ax+1，對a進行討論：a≤0或a＞0兩種情況，利用導數研究函數的極值問題；

解答：解：（I）當a=0時，函數f（x）=lnx+x²的定義域為（0，+∞），f′（x）=

1

x

+2x＞0，
∴f（x）在[1，e]上是增函數，
當x=1時，f（x）取得最小值f（1）=1，∴f（x）在[1，e]上的最小值為1；
（II）f′（x）=

1

x

+2x-2a=

2x2-2ax+1

x

，設g（x）=2x²-2ax+1
由題意知，在區間[

1

2

，2]上存在于區間使得不等式g（x）＞0恒成立，
由于拋物線g（x）=2x²-2ax+1開口向上，
∴只要g（2）＞0，或g（

1

2

）＞0即可，
由g（2）＞0，即8-4a+1＞0，∴a＜

9

4

，由g（

1

2

）＞0，即

1

2

-a+1＞0，∴a＜

3

2

，
∴a＜

9

4

，即實數a的取值范圍（-∞，

9

4

）
（III）∵f′（x）=

2x2-2ax+1

x

，設h（x）=2x²-2ax+1，
①顯然，當a≤0時，在（0，+∞）上h（x）＞0恒成立，
這時f′（x）＞0此時f（x）沒有極值點；
②當a＞0時，
當x＜

a- a2-2

2

或x＞

a+ a2-2

2

時，h（x）＞0，這時f′（x）＞0，
∴當a＞

2

時，x=

a- a2-2

2

是函數f（x）的極大值點；
x=

a+ a2-2

2

是函數f（x）的極小值點，
綜上，當a≤

2

時，函數f（x）沒有極值點；
當a＞

2

時，x=

a- a2-2

2

是函數f（x）的極大值點；
x=

a+ a2-2

2

是函數f（x）的極小值點；

點評：此題主要考查利用導數研究求閉區間上的最值問題，此題綜合性比較強，這類題型是高考的熱點問題，解的過程中我們用到了分類討論和轉化的思想，是一道中檔題；