Question

如圖，已知橢圓的焦點和上頂點分別為、、，我們稱為橢圓的特征三角形.如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比.
（1）已知橢圓和，判斷與是否相似，如果相似則求出與的相似比，若不相似請說明理由；
（2）若與橢圓相似且半短軸長為的橢圓為，且直線與橢圓為相交于兩點(異于端點)，試問：當面積最大時，是否與有關？并證明你的結論.
（3）根據與橢圓相似且半短軸長為的橢圓的方程，提出你認為有價值的相似橢圓之間的三種性質（不需證明）；

Answer 1

見解析.

第一問中利用根據已知的的定義進行判定特征三角形是否相似即可
第二問中，設直線方程，借助于聯立方程組，和韋達定理可以表示斜率之積，然后可知為定植
第三問中，利用類比推理的思想可知兩個相似橢圓之間的性質有：           
兩個相似橢圓的面積之比為相似比的平方；
分別以兩個相似橢圓的頂點為頂點的四邊形也相似，相似比即為橢圓的相似比；
兩個相似橢圓被同一條直線所截得的線段中點重合；
過原點的直線截相似橢圓所得線段長度之比恰為橢圓的相似比
解：（1）由題意可知，橢圓的焦點和上頂點分別為、，我們稱為橢圓C的特征三角形.如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比，所以橢圓與相似. ………2分
因為的特征三角形是腰長為4，底邊長為的等腰三角形，
而橢圓的特征三角形是腰長為2，底邊長為的等腰三角形，
因此兩個等腰三角形相似，且相似比為2:1                         ……… 4分
（2）橢圓的方程為：.
=與b無關                                 -----------6分
（3）橢圓的方程為：.        
兩個相似橢圓之間的性質有：           
兩個相似橢圓的面積之比為相似比的平方；
分別以兩個相似橢圓的頂點為頂點的四邊形也相似，相似比即為橢圓的相似比；
兩個相似橢圓被同一條直線所截得的線段中點重合；
過原點的直線截相似橢圓所得線段長度之比恰為橢圓的相似比. ---------------6分